Mar 102008
 

Il grafo del blog di ClassicaVivaLa primavera è nell’aria… e, un po’ in ritardo per l’8 marzo (ma, come si suol dire… meglio tardi che mai…, a proposito, auguri a tutte noi), mi sono imbattuta in un ramo di mimosa… matematico. Non è carino?

E’ la rappresentazione grafica di questo blog, secondo la teoria matematica dei grafi, che ne mostra le connessioni con altri nodi su Internet.

L’informatica può essere anche arte e poesia, oh yeah.

Vi regalo questo fiore simbolico, perché il grafo rappresenta la community di questo blog, siamo noi tutti insieme (grazie di esserci….!) , e la musica, con la matematica, “ci azzecca” parecchio…

Se volete generare il grafo di un qualunque sito a vostra scelta, andate su questo link, http://www.aharef.info/static/htmlgraph/, e potrete farlo in pochi istanti, gratuitamente, secondo lo spirito del WEB 2.0, grazie al geniale autore di una piccola applet java.

Buona giornata a tutti!

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Mar 272007
 

Un articolo molto interessante del nostro nuovo collaboratore Davide Rabacchin, che vuol essere anche lo stimolo ad un dibattito che vorremmo qui iniziare: scrivete a rivista@classicaviva.com

Postdam 1747. E’ una tiepida serata di primavera.bachgrande Bach è giunto in città per trovare Carl Philipp Emanuel, suo figlio e direttore del coro alla corte di Federico il Grande.

Il re, amante della musica e lui stesso solista di concerti per flauto, aspettava da tempo questa visita. Sovente aveva sollecitato Carl accennando, in modo discreto, al fatto che una visita del vecchio Bach gli avrebbe fatto molto piacere.

Una volta saputo del suo arrivo, Federico rinuncia seduta stante alla sua esibizione. Lascia al vecchio Bach la libertà di improvvisare, suggerendogli di volta in volta i temi da sviluppare.

Ritornato a Lipsia, Bach compose il tema ricevuto dal re, a tre e a sei voci, e lo fece stampare con il nome di Musikalisches Opfer, ovvero l’Offerta musicale, il punto più alto raggiunto da Bach nella tecnica del contrappunto.

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Maurits Cornelis Escher (1898-1972)Escher, autorefenzialità

Uno dei canoni più strani dell’Offerta è il “Canos per tonos” a tre voci, nel quale la voce più alta espone una variazione del “Tema Regio” e le due voci sottostanti sono un’armonizzazione del tema centrale.

La stranezza di questo canone sta nel fatto che quando il tema giunge alla conclusione (o sembra giungerci) non è più in do minore ma in re minore. Ripetendo il processo si arriva alla tonalità di mi, poi alla tonalità di fa e così via. Dopo un certo numero di iterazioni ci si aspetterebbe di trovarsi ad una tonalità più alta. E invece no! Ci si ritrova alla tonalità di partenza; e così all’infinito. Queste modulazioni successive inducono l’orecchio ad aspettarsi una tonalità più alta rispetto a quella di partenza, ma dopo la sesta modulazione ci si ritrova, non senza un forte capogiro, alla tonalità di partenza. Dunque, salendo o scendendo da una scala con organizzazione gerarchica, ci si ritrova al punto di partenza.

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Il capolavoro di Maurits Cornelis Escher (1898-1972), “Salita e Discesa” (1960), nel quale file di monaci salgono o scendono una scala chiusa in un ciclo infinito, su una costruzione che è impossibile da costruire, ma che è possibile disegnare solo avvalendosi di stranezze della percezione e della prospettiva.

Dato che ogni “copia” del canone conserva l’informazione originaria, cioè il tema originario, è evidente che tale trasformazione – che mantiene l’informazione – è equivalente al termine matematico di isomorfismo. E questo ci porta di tutto punto all’interno di un universo semantico contiguo, l’universo del numero, ovvero la mathesis. Contiguo. Ma avremmo potuto dire speculare visto che le strutture penta-dimensionali della musica hanno un corrispettivo nel linguaggio della matematica.

In particolare, il canone utilizzato nell’Offerta può essere interpretato con il “Teorema dell’incompletezza” di Gödel (questa è la tesi esposta da Hofstadter in Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante).

Potrebbe sembrare assurdo, ma in questa teoria, complessa e inaccessibile a non addetti ai lavori per il grado di tecnicismo e di astrazione di cui si serve, si formalizza un’intuizione, semplice ma robusta, che fece la sua comparsa più di duemila anni fa.

La questione riguarda il famoso paradosso di Epimenide, ai più conosciuto come “paradosso del mentitore”:

…se Epimenide da Creta afferma: tutti i cretesi mentono, allora Epimenide dice il vero o dice il falso?

Non c’è soluzione di senso per questa proposizione visto che in tutti e due i casi abbiamo come unica possibilità una contraddizione. Infatti, se Epimenide dice il vero, allora è ovvio che dice il falso; d’altro canto se dice il falso, và da sé che sta dicendo il vero.

È evidente a questo punto che siamo all’interno di un circolo vizioso, un labirinto logico che non ammette alcuna via d’uscita.

Non abbiamo bisogno di sforzarci molto per trovare altri esempi di questo semplice ragionamento circolare. Il primo ce lo suggerisce Bertrand Russell, uno dei più importanti filosofi della matematica del secolo scorso. L’argomento suona pressappoco così:

…in un villaggio dove tutti gli uomini sono rasati, c’è un solo barbiere il quale rasa tutti gli uomini che non si radono da soli. Orbene: chi rade il barbiere?

Se distinguiamo gli uomini del villaggio in due insiemi, quelli che si radono da soli e quelli che si fanno radere dal barbiere, ricadiamo di nuovo nella “reductio ad absurdum”.

Un ultimo esempio, più subdolo e forse un tantino naif. Leggete la proposizione che segue e stabilite se è vera o è falsa:

 “questa proposizione è falsa”

Non preoccupatevi se comincia a girarvi la testa. È normale. Ci sono voluti decine e decine di secoli per comprendere queste stranezze e per ricondurle a forza in una logica di umana comprensione.

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Kurt Gödel

Kurt Gödel dimostrò che, all’interno di un sistema matematico, ad esempio l’aritmetica, è possibile derivare degli enunciati che sono indimostrabili a partire dagli assiomi di base (ovvero le regole grammaticali attraverso le quali è lecito combinare le parole – ovvero le formule –  in modo sensato). Se si definisce una struttura assiomatica come “coerente”, allora l’insieme stesso degli assiomi sarà incompleto, cioè esisterà sempre una domanda che non troverà risposta sulla base di questi.

Detta in altro modo la tesi di Gödel suona grosso modo così: potete sforzarvi finché volete, costruire senza posa le più astratte e perfette strutture matematiche possibili, ma non c’è via di scampo poiché ogni sistema matematico contiene in sé proposizioni irrimediabilmente non decidibili. Questa proprietà viene anche detta ricorsività e su di essa si è sviluppata buona parte della logica-matematica contemporanea.

La matematica nella vita e nella musica

Nonostante le apparenze, la ricorsività non è un preziosismo tecnicistico creato da personaggi strani e un pochettino disturbati, come potrebbero sembrare a prima vista i matematici. Tutt’altro. La possiamo trovare praticamente ovunque in natura: dalle formazioni calcaree alla composizione musicale. E l’Offerta di Bach è lì a dimostrarcelo.

D’altra parte i legami tra la matematica e la musica sono noti da sempre: dalle teorie orfico-pitagoriche degli antichi alle ricerche astronomiche di Keplero.

È chiaro che non possiamo pensare alla musica come ad una produzione cognitiva priva di rilevanza conoscitiva, ma possiede quantomeno un significato che è sovra-determinato rispetto alla comprensione che ne abbiamo a livello percettivo. Forse, aveva ragione Leibniz quando ebbe a dire:

“ascoltare la musica equivale alla nascosta attività aritmetica di un animo che non è consapevole di effettuare un calcolo, ma che ne percepisce il risultato in termini di piacevolezza”

(G.W. Leibniz, Die Philosophischen Schriften, a cura di Gehrard, Lorenz, Leipzig, 1932, pp. 605-606)

Davide Rabacchin

Riferimenti bibliografici

godelescherbachHofstadter D., “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante” (trad. it. Adelphi, Milano, 2001).

Nagel T., “La prova di Gödel” (trad. it. Boringhieri, Torino, 1961).

Lucas J.R., “Mind, machines and Gödel”, in Philosophy 36, 1961.

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